次の三角関数に関する方程式または不等式を、指定された範囲で解きます。 (1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) (2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) (3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$ ($0 \le \theta < 2\pi$) (4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ ($-\pi \le \theta \le \pi$)

1. 問題の内容

次の三角関数に関する方程式または不等式を、指定された範囲で解きます。

(1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$)

(2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$ ($0 \le \theta \le 2\pi$)

(3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

(4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ ($-\pi \le \theta \le \pi$)

2. 解き方の手順

(1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$

まず、$\sin{2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le \theta \le 2\pi$ なので、$0 \le 2\theta \le 4\pi$ です。

$\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$ です。

したがって、$2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$。

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$

(2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$

$6\sqrt{2}\cos{\theta} < 3\sqrt{6}$

$\cos{\theta} < \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で $\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6}$ です。

$\cos{\theta} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる範囲は $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan{\theta} = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ は $\frac{2\pi}{3}$ と $\frac{5\pi}{3}$ です。

$\tan{\theta}$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2}$ で定義されません。

$\tan{\theta} > -\sqrt{3}$ となる範囲は $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲で考えます。

$\tan{\theta} = -1$ となる $\theta$ は $-\frac{\pi}{4}$ です。

$\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{6}$ です。

$\tan{\theta}$ は $\theta = -\frac{\pi}{2}$ と $\frac{\pi}{2}$ で定義されません。

したがって、$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$ および $-\pi \le \theta < -\frac{\pi}{2}$ および $\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$ において、$-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ は成り立ちません。

$\tan{\theta}$は$-\frac{\pi}{2}$と$\frac{\pi}{2}$で不連続なので、$-\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{6}$が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(3) $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(4) $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$