定積分 $\int_{0}^{\pi} (e^{3x+1} + \sin 2x) dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} (e^{3x+1} + \sin 2x) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた定積分を計算するために、まず不定積分を求めます。

$e^{3x+1}$ の不定積分は $\frac{1}{3}e^{3x+1}$ です。

$\sin 2x$ の不定積分は $-\frac{1}{2}\cos 2x$ です。

したがって、被積分関数の不定積分は $\frac{1}{3}e^{3x+1} - \frac{1}{2}\cos 2x$ となります。

次に、定積分の定義に従って、この不定積分に積分区間の上限 $\pi$ と下限 $0$ を代入し、その差を計算します。

$\left[ \frac{1}{3}e^{3x+1} - \frac{1}{2}\cos 2x \right]_{0}^{\pi} = \left( \frac{1}{3}e^{3\pi+1} - \frac{1}{2}\cos 2\pi \right) - \left( \frac{1}{3}e^{3(0)+1} - \frac{1}{2}\cos 2(0) \right)$

$= \left( \frac{1}{3}e^{3\pi+1} - \frac{1}{2}(1) \right) - \left( \frac{1}{3}e^{1} - \frac{1}{2}(1) \right)$

$= \frac{1}{3}e^{3\pi+1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}e + \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{3}e^{3\pi+1} - \frac{1}{3}e$

$= \frac{1}{3}(e^{3\pi+1} - e)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(e^{3\pi+1} - e)$