画像には、不定積分と定積分の計算問題があります。具体的には、以下の問題が含まれます。 (1) $\int dx$ (2) $\int t^3 dt$ (3) $\int (2x^4 + x - 3) dx$ (4) $\int (x+3)(2-x^2) dx$ (5) $\int (y+1)^2 dy$ (6) $\int_0^2 (x^3 - 2) dx$ (7) $\int_3^{-1} (y^3 - 3y^2) dy$ (8) $\int_{-2}^2 (2x^3 + x^2) dx$ (9) $\int_{-1}^1 (x^2 - 3x + 2) dx$ (10) $\int_1^3 (x-1)(x-3) dx$ (11) $\int_{-\frac{1}{2}}^1 (2x+1)(x-1) dx$ (12) $\int_0^3 |x-1| dx$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、不定積分と定積分の計算問題があります。具体的には、以下の問題が含まれます。

(1) $\int dx$

(2) $\int t^3 dt$

(3) $\int (2x^4 + x - 3) dx$

(4) $\int (x+3)(2-x^2) dx$

(5) $\int (y+1)^2 dy$

(6) $\int_0^2 (x^3 - 2) dx$

(7) $\int_3^{-1} (y^3 - 3y^2) dy$

(8) $\int_{-2}^2 (2x^3 + x^2) dx$

(9) $\int_{-1}^1 (x^2 - 3x + 2) dx$

(10) $\int_1^3 (x-1)(x-3) dx$

(11) $\int_{-\frac{1}{2}}^1 (2x+1)(x-1) dx$

(12) $\int_0^3 |x-1| dx$

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $\int dx$

$x$ を $x$ で微分すると 1 になるので、$\int 1 dx = x + C$ となります。

(2) $\int t^3 dt$

ベキの積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

$\int t^3 dt = \frac{t^4}{4} + C$

(3) $\int (2x^4 + x - 3) dx$

各項ごとに積分します。

$\int 2x^4 dx = \frac{2x^5}{5}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int -3 dx = -3x$

したがって、$\int (2x^4 + x - 3) dx = \frac{2x^5}{5} + \frac{x^2}{2} - 3x + C$

(4) $\int (x+3)(2-x^2) dx$

まず展開します。

$(x+3)(2-x^2) = 2x - x^3 + 6 - 3x^2$

$\int (2x - x^3 + 6 - 3x^2) dx = x^2 - \frac{x^4}{4} + 6x - x^3 + C$

(5) $\int (y+1)^2 dy$

まず展開します。

$(y+1)^2 = y^2 + 2y + 1$

$\int (y^2 + 2y + 1) dy = \frac{y^3}{3} + y^2 + y + C$

(6) $\int_0^2 (x^3 - 2) dx$

まず不定積分を求めます。

$\int (x^3 - 2) dx = \frac{x^4}{4} - 2x$

次に定積分を計算します。

$[\frac{x^4}{4} - 2x]_0^2 = (\frac{2^4}{4} - 2(2)) - (\frac{0^4}{4} - 2(0)) = (4 - 4) - (0 - 0) = 0$

(7) $\int_3^{-1} (y^3 - 3y^2) dy$

まず不定積分を求めます。

$\int (y^3 - 3y^2) dy = \frac{y^4}{4} - y^3$

次に定積分を計算します。

$[\frac{y^4}{4} - y^3]_3^{-1} = (\frac{(-1)^4}{4} - (-1)^3) - (\frac{3^4}{4} - 3^3) = (\frac{1}{4} + 1) - (\frac{81}{4} - 27) = \frac{5}{4} - (\frac{81}{4} - \frac{108}{4}) = \frac{5}{4} - (-\frac{27}{4}) = \frac{32}{4} = 8$

(8) $\int_{-2}^2 (2x^3 + x^2) dx$

まず不定積分を求めます。

$\int (2x^3 + x^2) dx = \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3}$

次に定積分を計算します。

$[\frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3}]_{-2}^2 = (\frac{2^4}{2} + \frac{2^3}{3}) - (\frac{(-2)^4}{2} + \frac{(-2)^3}{3}) = (8 + \frac{8}{3}) - (8 - \frac{8}{3}) = \frac{16}{3}$

(9) $\int_{-1}^1 (x^2 - 3x + 2) dx$

まず不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$

次に定積分を計算します。

$[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_{-1}^1 = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - (\frac{-1}{3} - \frac{3}{2} - 2) = (\frac{2}{6} - \frac{9}{6} + \frac{12}{6}) - (\frac{-2}{6} - \frac{9}{6} - \frac{12}{6}) = \frac{5}{6} - (-\frac{23}{6}) = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$

(10) $\int_1^3 (x-1)(x-3) dx$

まず展開します。

$(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$

$\int (x^2 - 4x + 3) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$

$[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x]_1^3 = (\frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 3(3)) - (\frac{1^3}{3} - 2(1^2) + 3(1)) = (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) = 0 - (\frac{1}{3} + 1) = -\frac{4}{3}$

(11) $\int_{-\frac{1}{2}}^1 (2x+1)(x-1) dx$

まず展開します。

$(2x+1)(x-1) = 2x^2 - 2x + x - 1 = 2x^2 - x - 1$

$\int (2x^2 - x - 1) dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x$

$[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x]_{-\frac{1}{2}}^1 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1) - (\frac{2(-\frac{1}{2})^3}{3} - \frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} - (-\frac{1}{2})) = (\frac{4}{6} - \frac{3}{6} - \frac{6}{6}) - (\frac{2(-\frac{1}{8})}{3} - \frac{\frac{1}{4}}{2} + \frac{1}{2}) = -\frac{5}{6} - (-\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2}) = -\frac{5}{6} - (-\frac{2}{24} - \frac{3}{24} + \frac{12}{24}) = -\frac{5}{6} - \frac{7}{24} = -\frac{20}{24} - \frac{7}{24} = -\frac{27}{24} = -\frac{9}{8}$

(12) $\int_0^3 |x-1| dx$

$|x-1|$ は、$x<1$ のとき $1-x$, $x \ge 1$ のとき $x-1$ となる。

したがって、

$\int_0^3 |x-1| dx = \int_0^1 (1-x) dx + \int_1^3 (x-1) dx$

$\int (1-x) dx = x - \frac{x^2}{2}$

$\int (x-1) dx = \frac{x^2}{2} - x$

$[x - \frac{x^2}{2}]_0^1 = (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) = \frac{1}{2}$

$[\frac{x^2}{2} - x]_1^3 = (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{4}{2} = 2$

$\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x + C$

(2) $\frac{t^4}{4} + C$

(3) $\frac{2x^5}{5} + \frac{x^2}{2} - 3x + C$

(4) $x^2 - \frac{x^4}{4} + 6x - x^3 + C$

(5) $\frac{y^3}{3} + y^2 + y + C$

(6) $0$

(7) $8$

(8) $\frac{16}{3}$

(9) $\frac{14}{3}$

(10) $-\frac{4}{3}$

(11) $-\frac{9}{8}$

(12) $\frac{5}{2}$