与えられた関数がすべての実数で連続になるような定数 $a$ の値を求めます。 (1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & (x \neq 2) \\ a & (x = 2) \end{cases}$ (2) $f(x) = \begin{cases} 2^x & (x \geq 0) \\ a & (x < 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数がすべての実数で連続になるような定数 $a$ の値を求めます。

(1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & (x \neq 2) \\ a & (x = 2) \end{cases}$

(2) $f(x) = \begin{cases} 2^x & (x \geq 0) \\ a & (x < 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ が $x=2$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ である必要があります。

$x \neq 2$ のとき、

$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$

したがって、

$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$

$f(2) = a$ であるので、$a=4$ であれば $f(x)$ は $x=2$ で連続となります。

また、$x \neq 2$ においては $f(x) = x+2$ は連続であるので、すべての実数で連続となるためには $a=4$ である必要があります。

(2) 関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ である必要があります。

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2^x = 2^0 = 1$

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} a = a$

$f(0) = 2^0 = 1$

したがって、$a = 1$ であれば $f(x)$ は $x=0$ で連続となります。

また、$x > 0$ においては $f(x) = 2^x$ は連続であり、$x < 0$ においては $f(x) = a$ は連続であるので、すべての実数で連続となるためには $a=1$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $a = 1$