与えられた微分方程式を、初期条件を使って解く問題です。 (1) $y' = \cos x$、初期条件 $x = \pi, y = 1$ (2) $y' = e^{2x}$、初期条件 $x = 0, y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を、初期条件を使って解く問題です。

(1) $y' = \cos x$、初期条件 $x = \pi, y = 1$

(2) $y' = e^{2x}$、初期条件 $x = 0, y = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y'$ を積分して $y$ を求めます。

$y = \int \cos x \, dx = \sin x + C$

次に、初期条件 $x = \pi, y = 1$ を代入して、積分定数 $C$ を求めます。

$1 = \sin \pi + C$

$1 = 0 + C$

$C = 1$

したがって、$y = \sin x + 1$ となります。

(2)

まず、$y'$ を積分して $y$ を求めます。

$y = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

次に、初期条件 $x = 0, y = 0$ を代入して、積分定数 $C$ を求めます。

$0 = \frac{1}{2}e^{2(0)} + C$

$0 = \frac{1}{2}e^{0} + C$

$0 = \frac{1}{2} + C$

$C = -\frac{1}{2}$

したがって、$y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \sin x + 1$

(2) $y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}$