与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2 + x + 3}}$ (2) $y = \frac{1}{2} \tan^2(\sqrt{2x})$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2 + x + 3}}$

(2) $y = \frac{1}{2} \tan^2(\sqrt{2x})$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{x}{\sqrt{2x^2 + x + 3}}$ を微分します。商の微分公式と合成関数の微分を使います。

商の微分公式: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x$, $v = \sqrt{2x^2 + x + 3} = (2x^2 + x + 3)^{\frac{1}{2}}$

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2}(2x^2 + x + 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot (4x + 1) = \frac{4x + 1}{2\sqrt{2x^2 + x + 3}}$

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{2x^2 + x + 3} - x \cdot \frac{4x + 1}{2\sqrt{2x^2 + x + 3}}}{(\sqrt{2x^2 + x + 3})^2}$

$= \frac{\sqrt{2x^2 + x + 3} - \frac{4x^2 + x}{2\sqrt{2x^2 + x + 3}}}{2x^2 + x + 3}$

$= \frac{\frac{2(2x^2 + x + 3) - (4x^2 + x)}{2\sqrt{2x^2 + x + 3}}}{2x^2 + x + 3}$

$= \frac{4x^2 + 2x + 6 - 4x^2 - x}{2(2x^2 + x + 3)\sqrt{2x^2 + x + 3}}$

$= \frac{x + 6}{2(2x^2 + x + 3)^{\frac{3}{2}}}$

(2)

$y = \frac{1}{2} \tan^2(\sqrt{2x})$ を微分します。合成関数の微分を使います。

$y' = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan(\sqrt{2x}) \cdot (\tan(\sqrt{2x}))'$

$= \tan(\sqrt{2x}) \cdot \sec^2(\sqrt{2x}) \cdot (\sqrt{2x})'$

$= \tan(\sqrt{2x}) \cdot \sec^2(\sqrt{2x}) \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2$

$= \tan(\sqrt{2x}) \cdot \sec^2(\sqrt{2x}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}}$

$= \frac{\tan(\sqrt{2x}) \sec^2(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}$

$= \frac{\tan(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x} \cos^2(\sqrt{2x})}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{x+6}{2(2x^2 + x + 3)^{\frac{3}{2}}}$

(2) $y' = \frac{\tan(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x} \cos^2(\sqrt{2x})}$