次の等式または不等式を満たす $\theta$ を、与えられた範囲内で求めます。 (1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$, $0 \le \theta \le 2\pi$ (2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$, $0 \le \theta \le 2\pi$ (3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$, $0 \le \theta < 2\pi$ (4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $-\pi \le \theta \le \pi$

以下に、示された三角関数の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

次の等式または不等式を満たす $\theta$ を、与えられた範囲内で求めます。

(1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$, $0 \le \theta \le 2\pi$

(2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$, $0 \le \theta \le 2\pi$

(3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$, $0 \le \theta < 2\pi$

(4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $-\pi \le \theta \le \pi$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$

$\sin{2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$

(2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$

$6\sqrt{2}\cos{\theta} < 3\sqrt{6}$

$\cos{\theta} < \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}$

$\cos{\theta} < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$

$\tan{\theta} = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ は $\frac{2\pi}{3}$ と $\frac{5\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$\theta = -\frac{\pi}{3}$

したがって、解は

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan{\theta} = -1$ となる $\theta$ は $-\frac{\pi}{4}$

$\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$ および $-\pi \le \theta < -\frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$

したがって、解は

$-\pi \le \theta < -\frac{\pi}{2}$ または $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(3) $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(4) $-\pi \le \theta < -\frac{\pi}{2}$ または $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$