逆三角関数の値を求める問題です。それぞれの逆三角関数について、値域を明示する必要があります。 (1) $y = \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $y = \cos^{-1} (-\frac{\sqrt{2}}{2})$ (3) $y = \tan^{-1} (-\frac{1}{\sqrt{3}})$

1. 問題の内容

逆三角関数の値を求める問題です。それぞれの逆三角関数について、値域を明示する必要があります。

(1) $y = \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $y = \cos^{-1} (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

(3) $y = \tan^{-1} (-\frac{1}{\sqrt{3}})$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $y$ を求めます。$\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ と書き換えることもできます。

$\sin^{-1} x$ の値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ です。

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるので、$y = \frac{\pi}{4}$ が解となります。

(2) $y = \cos^{-1} (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$\cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $y$ を求めます。

$\cos^{-1} x$ の値域は $[0, \pi]$ です。

$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるので、$y = \frac{3\pi}{4}$ が解となります。

(3) $y = \tan^{-1} (-\frac{1}{\sqrt{3}})$

$\tan y = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $y$ を求めます。

$\tan^{-1} x$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ です。

$\tan (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ であるので、$y = -\frac{\pi}{6}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{3\pi}{4}$

(3) $-\frac{\pi}{6}$