与えられた4つの関数について、定義域を求め、グラフを描く問題です。 (1) $y = \sqrt{ax+b}$, ($a \ne 0, b \ge 0$) (2) $y = \sqrt{x^2 - a^2}$ (3) $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$ (4) $y = x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、定義域を求め、グラフを描く問題です。

(1) $y = \sqrt{ax+b}$, ($a \ne 0, b \ge 0$)

(2) $y = \sqrt{x^2 - a^2}$

(3) $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$

(4) $y = x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{ax+b}$ ($a \ne 0, b \ge 0$):

* 定義域: 根号の中身が0以上である必要があるので、$ax+b \ge 0$を解きます。

* $a > 0$ のとき、$ax \ge -b$より、$x \ge -\frac{b}{a}$

* $a < 0$ のとき、$ax \ge -b$より、$x \le -\frac{b}{a}$

* グラフ: $a>0$のとき、x軸との交点は $(-\frac{b}{a}, 0)$で、単調増加するグラフになります。$a<0$のとき、x軸との交点は $(-\frac{b}{a}, 0)$で、単調減少するグラフになります。

(2) $y = \sqrt{x^2 - a^2}$:

* 定義域: 根号の中身が0以上である必要があるので、$x^2 - a^2 \ge 0$を解きます。これは$(x-a)(x+a) \ge 0$と同値です。

* $x \le -a$または$x \ge a$

* グラフ: $x = \pm a$のとき、$y=0$となります。このグラフは偶関数であり、$x^2 - a^2$のグラフを$x$軸より下にある部分を$x$軸に関して折り返してできるグラフの、$y \ge 0$の部分になります。

(3) $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$:

* 定義域: 実数全体

* グラフ: 原点に関して対称な奇関数で、単調増加します。

(4) $y = x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$:

* 定義域: $x \ge 0$

* グラフ: $x \ge 0$で定義され、単調増加します。

3. 最終的な答え

(1)

定義域:

$a > 0$のとき、$x \ge -\frac{b}{a}$

$a < 0$のとき、$x \le -\frac{b}{a}$

(2)

定義域: $x \le -a$または$x \ge a$

(3)

定義域: 実数全体

(4)

定義域: $x \ge 0$