与えられた関数を微分し、空欄を埋める問題です。 (1) $y = \frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{7}x + 6$ (2) $y = (x^2 + 6x + 5)(x+1)(x+5)$ (3) $y = \frac{x^5 + x^3 + 2x}{x^3 + 2x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分し、空欄を埋める問題です。

(1) $y = \frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{7}x + 6$

(2) $y = (x^2 + 6x + 5)(x+1)(x+5)$

(3) $y = \frac{x^5 + x^3 + 2x}{x^3 + 2x^2}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を微分します。

$y' = \frac{1}{8} \cdot 4x^3 + \frac{1}{2} \cdot 3x^2 + \frac{3}{7} \cdot 1 + 0$

$y' = \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{7}$

(2) まず、$y = (x^2 + 6x + 5)(x+1)(x+5) = (x+1)(x+5)(x+1)(x+5) = (x+1)^2 (x+5)^2$ と変形します。

積の微分法を用いると、

$y' = 2(x+1)(x+5)^2 + (x+1)^2 2(x+5)$

$y' = 2(x+1)(x+5)[(x+5) + (x+1)]$

$y' = 2(x+1)(x+5)(2x+6)$

$y' = 4(x+1)(x+5)(x+3)$

条件より、 $x+5 < x+6$ なので、

$x+3$ が $x+5$と$x+6$の間に入る。

(3) 商の微分法を用います。

$y' = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 2)(x^3 + 2x^2) - (x^5 + x^3 + 2x)(3x^2 + 4x)}{(x^3 + 2x^2)^2}$

$y' = \frac{(5x^7 + 10x^6 + 3x^5 + 6x^4 + 2x^3 + 4x^2) - (3x^7 + 4x^6 + 3x^5 + 4x^4 + 6x^3 + 8x^2)}{(x^3 + 2x^2)^2}$

$y' = \frac{2x^7 + 6x^6 - 2x^4 - 4x^3 - 4x^2}{(x^3 + 2x^2)^2}$

$y' = \frac{2x^7 + 6x^6 - 2x^4 - 4x^3 - 4x^2}{(x^3 + 2x^2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) 1: 1/2, 2: 3/2, 3: 3/7

(2) 4: 4, 5: 3

(3) 7: 6, 8: -2, 9: 2