$\lim_{x \to 0} x \cot 2x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} x \cot 2x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ であるから、

$\lim_{x \to 0} x \cot 2x = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\sin 2x}$

となる。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、$\frac{\sin 2x}{x}$ を $\frac{\sin 2x}{2x}$ に変形する。

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{\cos 2x}{2}$

ここで、$t = 2x$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\sin t}{t}} = \frac{1}{1} = 1$

また、

$\lim_{x \to 0} \cos 2x = \cos 0 = 1$

である。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{\cos 2x}{2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$