与えられた3つの関数をそれぞれ微分し、空欄を埋める問題です。 (1) $y = e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x$ (2) $y = \frac{1}{3}x(\log x - 1)$ (3) $y = \sqrt{x e^{2x^2 + 3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ微分し、空欄を埋める問題です。

(1) $y = e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x$

(2) $y = \frac{1}{3}x(\log x - 1)$

(3) $y = \sqrt{x e^{2x^2 + 3}}$

2. 解き方の手順

(1)

積の微分公式と合成関数の微分公式を使用します。

$y' = (e^{\frac{1}{2}x})' \sin^2 x + e^{\frac{1}{2}x} (\sin^2 x)'$

$y' = \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x + e^{\frac{1}{2}x} (2\sin x \cos x)$

$y' = e^{\frac{1}{2}x} \sin x (\frac{1}{2}\sin x + 2 \cos x)$

よって、空欄には $2$ が入ります。

(2)

積の微分公式を使用します。

$y' = \frac{1}{3} (x)'(\log x - 1) + \frac{1}{3} x (\log x - 1)'$

$y' = \frac{1}{3} (\log x - 1) + \frac{1}{3} x (\frac{1}{x})$

$y' = \frac{1}{3} (\log x - 1) + \frac{1}{3}$

$y' = \frac{1}{3} \log x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

$y' = \frac{1}{3} \log x$

よって、空欄には $3$ が入ります。

(3)

合成関数の微分公式を使用します。

$y = \sqrt{x e^{2x^2 + 3}} = (x e^{2x^2 + 3})^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2} (x e^{2x^2 + 3})^{-\frac{1}{2}} (x e^{2x^2 + 3})'$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x e^{2x^2 + 3}}} [(x)' e^{2x^2 + 3} + x (e^{2x^2 + 3})']$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x e^{2x^2 + 3}}} [e^{2x^2 + 3} + x e^{2x^2 + 3} (4x)]$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x e^{2x^2 + 3}}} e^{2x^2 + 3} [1 + 4x^2]$

$y' = \frac{e^{2x^2 + 3} (4x^2 + 1)}{2\sqrt{x e^{2x^2 + 3}}}$

$y' = \frac{e^{2x^2 + 3} (4x^2 + 1)}{2\sqrt{x} \sqrt{e^{2x^2 + 3}}}$

$y' = \frac{e^{2x^2 + 3} (4x^2 + 1)}{2\sqrt{x} e^{x^2 + \frac{3}{2}}}$

$y' = \frac{e^{x^2 + \frac{3}{2}} (4x^2 + 1)}{2\sqrt{x}}$

$y' = e^{2x^2 + 3} (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^{\frac{3}{2}})/2 = \frac{e^{2x^2 + 3}(1+4x^2)}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{2x^2 + 3}}{ \sqrt{x}} (2x^2+\frac{1}{2})$

$y' = \frac{1}{2} \frac{e^{2x^2 + 3}}{x^{1/2}} + 2 e^{2x^2 + 3} x^{3/2}$

$y' = e^{2x^2+3}(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2x^{\frac{3}{2}})= e^{2x^2+3}(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+ 4x x^{\frac{1}{2}})$

$y' = e^{2x^2+3} \frac{1}{4x^{\frac{1}{2}}} e^{2x^2+3}+5 e^{2x^2+3} x^\frac{3}{2}$

よって、空欄には $4=2$, $5 = 4$ が入ります。

3. 最終的な答え

(1) 空欄：2

(2) 空欄：3

(3) 空欄：1/2, 4