与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題です。 (1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$ (2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題です。

(1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$

(2) $\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$

2. 解き方の手順

(1)

$x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$を$x$で微分します。

$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx}(2y^2) + \frac{d}{dx}(3\sqrt{y})$

$1 = 4y\frac{dy}{dx} + 3\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}$

$1 = (4y + \frac{3}{2\sqrt{y}})\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}} = \frac{1}{\frac{8y\sqrt{y}+3}{2\sqrt{y}}} = \frac{2\sqrt{y}}{8y\sqrt{y}+3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2)

$\tan x + \frac{\log y}{3\sqrt{y}} = 5$を$x$で微分します。

$\frac{d}{dx}(\tan x) + \frac{d}{dx}(\frac{\log y}{3\sqrt{y}}) = \frac{d}{dx}(5)$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3} \frac{\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\sqrt{y} - \log y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}}{y} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3} \frac{\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} - \frac{\log y}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}}{y} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{3} \frac{(2-\log y)\frac{dy}{dx}}{2y\sqrt{y}} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{(2-\log y)\frac{dy}{dx}}{6y\sqrt{y}} = 0$

$\frac{(2-\log y)\frac{dy}{dx}}{6y\sqrt{y}} = -\frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{6y\sqrt{y}}{\cos^2 x (2-\log y)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2y^{\frac{3}{2}}}{\cos^2 x(2-\log y)}$