与えられた関数を微分し、空欄を埋める問題です。 (1) $y = e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x$ (2) $y = \frac{1}{3}x (\log x - 1)$ (3) $y = \sqrt{x e^{2x^2 + 3}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分し、空欄を埋める問題です。

(1) $y = e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x$

(2) $y = \frac{1}{3}x (\log x - 1)$

(3) $y = \sqrt{x e^{2x^2 + 3}}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x$ を微分します。積の微分法を用いると、

$y' = (e^{\frac{1}{2}x})' \sin^2 x + e^{\frac{1}{2}x} (\sin^2 x)'$

$y' = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x + e^{\frac{1}{2}x} (2\sin x \cos x)$

$y' = \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \sin^2 x + e^{\frac{1}{2}x} (2\sin x \cos x)$

$y' = e^{\frac{1}{2}x}\sin x (\frac{1}{2} \sin x + 2 \cos x)$

(2)

$y = \frac{1}{3}x(\log x - 1)$を微分します。

$y' = \frac{1}{3}(x(\log x - 1))'$

$y' = \frac{1}{3}((x)'(\log x - 1) + x (\log x - 1)')$

$y' = \frac{1}{3}(1(\log x - 1) + x \cdot \frac{1}{x})$

$y' = \frac{1}{3}(\log x - 1 + 1)$

$y' = \frac{1}{3} \log x$

(3)

$y = \sqrt{x e^{2x^2 + 3}} = (x e^{2x^2 + 3})^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$y' = \frac{1}{2}(x e^{2x^2 + 3})^{-\frac{1}{2}} (x e^{2x^2 + 3})'$

$y' = \frac{1}{2}(x e^{2x^2 + 3})^{-\frac{1}{2}} (e^{2x^2 + 3} + x (e^{2x^2 + 3})')$

$y' = \frac{1}{2}(x e^{2x^2 + 3})^{-\frac{1}{2}} (e^{2x^2 + 3} + x (4x e^{2x^2 + 3}))$

$y' = \frac{1}{2} \frac{e^{2x^2 + 3}}{\sqrt{x e^{2x^2 + 3}}} (1 + 4x^2)$

$y' = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{e^{2x^2 + 3}}{x}} (1+4x^2)$

$y' = \frac{1}{2} e^{\frac{2x^2+3}{2}} x^{-\frac{1}{2}} (1+4x^2) = \frac{e^{2x^2 + 3}}{2\sqrt{xe^{2x^2+3}}}(1+4x^2)$

$y' = \frac{e^{2x^2+3}}{2\sqrt{x}}(1+4x^2) = e^{2x^2+3}(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{4x^2}{2\sqrt{x}}) = e^{2x^2+3} (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}})$

よって、$e^{2x^2 + 3} (\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}) = e^{2x^2 + 3} (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x})$

問題の形式に合わせるため、$y' = e^{2x^2+3}(\frac{1}{4} \frac{1}{x} + 5x^2)$という形にすることを試みます。

$y' = \frac{1}{2}(xe^{2x^2+3})^{-1/2}(e^{2x^2+3} + xe^{2x^2+3}4x)$

$y' = \frac{1}{2}(xe^{2x^2+3})^{-1/2}e^{2x^2+3}(1 + 4x^2)$

$y' = \frac{1}{2} e^{2x^2+3} (xe^{2x^2+3})^{-1/2}(1 + 4x^2)$

$y' = \frac{1}{2}e^{\frac{2x^2+3}{2}} x^{-1/2}(1+4x^2) = \frac{e^{2x^2+3}}{2\sqrt{x}}(1+4x^2)$

$y' = e^{2x^2+3}(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x}) = e^{2x^2+3}(\frac{1}{2}x^{-1/2} + 2x^{3/2})$

求める形は $y' = e^{2x^2+3}(\frac{\Box}{4}x^{-1} + \Box x^2)$。

$y' = e^{2x^2 + 3} (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x}) = e^{2x^2 + 3} (\frac{1}{2} x^{-1/2} + 2 x^{3/2})$.

この形から、写真にある答えに合わせるのは困難です。問題文のミスもしくは転記ミスかもしれません。

3. 最終的な答え

(1) 1, 2

(2) 3

(3) 答えを定めることができません。

画像から推測して、 $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{2}$ が当てはまるようには見えません。

正しい答えは、 $y' = e^{2x^2+3}(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x})$。

もし問題に合わせるのであれば、$\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$なので、$\frac{1}{4}$と5の部分をうまく調整する必要がある。