与えられた関数を $x$ で微分する問題です。問題文には6つの関数が記載されています。ここでは、以下の3つの関数の微分を計算します。 (3) $y = \cos^2 x$ (4) $y = e^{x^2 - 3x + 6}$ (5) $y = \frac{1}{e^x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を $x$ で微分する問題です。問題文には6つの関数が記載されています。ここでは、以下の3つの関数の微分を計算します。

(3) $y = \cos^2 x$

(4) $y = e^{x^2 - 3x + 6}$

(5) $y = \frac{1}{e^x}$

2. 解き方の手順

(3) $y = \cos^2 x$ の微分

$y = \cos^2 x$ は $y = (\cos x)^2$ と同じ意味です。合成関数の微分を利用します。$u = \cos x$ とおくと、$y = u^2$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (-\sin x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x = -\sin 2x$

(4) $y = e^{x^2 - 3x + 6}$ の微分

$y = e^{x^2 - 3x + 6}$ も合成関数の微分を利用します。$u = x^2 - 3x + 6$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x - 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (2x - 3) = e^{x^2 - 3x + 6} \cdot (2x - 3) = (2x - 3) e^{x^2 - 3x + 6}$

(5) $y = \frac{1}{e^x}$ の微分

$y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ と書き換えることができます。

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$

3. 最終的な答え

(3) $y = \cos^2 x$ の微分:

$\frac{dy}{dx} = -\sin 2x$

(4) $y = e^{x^2 - 3x + 6}$ の微分:

$\frac{dy}{dx} = (2x - 3) e^{x^2 - 3x + 6}$

(5) $y = \frac{1}{e^x}$ の微分:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^x}$