与えられた関数の定義域を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{ax+b}$ ($a \neq 0, b \geq 0$) (2) $y = \sqrt{x^2 - a^2}$ (3) $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$ (4) $y = x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{ax+b}$ ($a \neq 0, b \geq 0$)

(2) $y = \sqrt{x^2 - a^2}$

(3) $y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$

(4) $y = x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$

2. 解き方の手順

(1)

根号の中身が0以上になる必要があるため、$ax+b \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

$ax \geq -b$

$a > 0$ のとき、$x \geq -\frac{b}{a}$

$a < 0$ のとき、$x \leq -\frac{b}{a}$

(2)

根号の中身が0以上になる必要があるため、$x^2 - a^2 \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

$x^2 \geq a^2$

$x \geq a$ または $x \leq -a$

(3)

3乗根なので、特に制限はありません。すべての実数 $x$ で定義されます。

(4)

根号の中身が0以上になる必要があるため、$x^3 \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

$x \geq 0$

3. 最終的な答え

(1) $a > 0$ のとき $x \geq -\frac{b}{a}$、$a < 0$ のとき $x \leq -\frac{b}{a}$

(2) $x \geq a$ または $x \leq -a$

(3) すべての実数

(4) $x \geq 0$