$x > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを示す問題です。 $\arctan x > x - \frac{x^3}{3}$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを示す問題です。

$\arctan x > x - \frac{x^3}{3}$

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \arctan x - x + \frac{x^3}{3}$ とおきます。

このとき、$x > 0$ で $f(x) > 0$ を示すことが目標となります。

$f(x)$ を微分すると、

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - 1 + x^2$

さらに、$f'(x)$ を計算すると、

$f'(x) = \frac{1 - (1+x^2) + x^2(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1 - 1 - x^2 + x^2 + x^4}{1+x^2} = \frac{x^4}{1+x^2}$

$x>0$ において、$f'(x) > 0$ であることがわかります。

したがって、$f(x)$ は $x>0$ において単調増加関数です。

$x = 0$ のとき、$f(0) = \arctan 0 - 0 + \frac{0^3}{3} = 0$ です。

$x>0$ において、$f(x)$ は単調増加関数であり、$f(0)=0$ なので、$x>0$ において、$f(x) > 0$ が成り立ちます。

したがって、$x>0$ において、

$\arctan x - x + \frac{x^3}{3} > 0$

$\arctan x > x - \frac{x^3}{3}$

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、$\arctan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つ。