$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{\pi}{12}$ を既知の角度の和または差で表す。今回は $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ と表現する。

次に、タンジェントの加法定理 $\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ を用いる。

この式に、$A = \frac{\pi}{3}$ と $B = \frac{\pi}{4}$ を代入すると、

$\tan \frac{\pi}{12} = \tan (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4}}$となる。

$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ および $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であるから、

$\tan \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $1 - \sqrt{3}$ を掛ける。

$\tan \frac{\pi}{12} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} - 3 - 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{3} - 4}{-2} = \frac{2(\sqrt{3} - 2)}{-2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$