関数 $f(x)$ が $f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^3 f(t) dt$ を満たしている。$a = \int_0^3 f(t) dt$ とおいて、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^3 f(t) dt$ を満たしている。$a = \int_0^3 f(t) dt$ とおいて、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a = \int_0^3 f(t) dt$ と置く。すると、$f(x)$ は

$f(x) = 3x^2 - 4x + a$

と表せる。

次に、$f(t)$ を計算する。$x$ を $t$ に置き換えると、

$f(t) = 3t^2 - 4t + a$

となる。

これを $a = \int_0^3 f(t) dt$ に代入すると、

$a = \int_0^3 (3t^2 - 4t + a) dt$

積分を実行する。

$a = [t^3 - 2t^2 + at]_0^3$

$a = (3^3 - 2(3^2) + 3a) - (0)$

$a = 27 - 18 + 3a$

$a = 9 + 3a$

$-2a = 9$

$a = -\frac{9}{2}$

これを $f(x) = 3x^2 - 4x + a$ に代入する。

$f(x) = 3x^2 - 4x - \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x^2 - 4x - \frac{9}{2}$