$x > 0$ のとき、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = \tan x - x + \frac{x^3}{3}$ を考える。このとき、$x > 0$ において、$f(x) > 0$ であることを示す。

まず、$f(0)$ を計算する。

$f(0) = \tan 0 - 0 + \frac{0^3}{3} = 0$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 + x^2 = \tan^2 x + x^2$

$f'(x)$ の導関数 $f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = 2 \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 2x = 2\tan x(1+\tan^2 x) + 2x$

$f''(x) = 2 \tan x(1+\tan^2 x) + 2x > 0$　（∵ $x>0$ で $\tan x>0$）

$f'(0) = \tan^2 0 + 0^2 = 0$

したがって、$x>0$ で $f'(x)$ は増加関数である。

したがって、$x>0$ では $f'(x) > 0$ となる。

$f(0) = 0$ であり、$x>0$ で $f'(x) > 0$ であるので、$x>0$ で $f(x) > 0$ となる。

よって、$x > 0$ のとき、$\tan x - x + \frac{x^3}{3} > 0$ となり、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つ。