$x>0$ のとき、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つことを示してください。

1. 問題の内容

$x>0$ のとき、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つことを示してください。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \tan x - x + \frac{x^3}{3}$ と定義します。

この不等式を示すためには、$x>0$ で $f(x)>0$ であることを示せば良いです。

ステップ1: $f(0)$ を計算します。

$f(0) = \tan 0 - 0 + \frac{0^3}{3} = 0$

ステップ2: $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \sec^2 x - 1 + x^2 = \tan^2 x + x^2$

ステップ3: $f'(x) \ge 0$ が $x>0$ で成り立つことを確認します。

$x > 0$ では、$\tan^2 x > 0$ と $x^2 > 0$ より、$f'(x) = \tan^2 x + x^2 > 0$ となります。

ステップ4: $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = 2\tan x \sec^2 x + 2x$

ステップ5: $f''(x)$ が $x>0$ で正であることを確認します。

$x>0$ で $\tan x > 0$ と $\sec^2 x > 0$ なので、$f''(x) > 0$ となります。

$f'(x) > 0$ であるので、$x>0$ で $f(x)$ は増加関数です。

$f(0) = 0$ であり、かつ $x>0$ で $f(x)$ は増加関数なので、$x>0$ で $f(x) > 0$ となります。

したがって、$\tan x - x + \frac{x^3}{3} > 0$ となり、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x>0$ のとき、$\tan x > x - \frac{x^3}{3}$ が成り立つ。