定積分 $\int_{1}^{3} |x-2| \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} |x-2| \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値関数 $|x-2|$ は、$x$ の値によって場合分けが必要です。

$x < 2$ のとき、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$

$x \geq 2$ のとき、$|x-2| = x-2$

積分区間 $[1, 3]$ を $[1, 2]$ と $[2, 3]$ に分割して計算します。

$\int_{1}^{3} |x-2| \, dx = \int_{1}^{2} (2-x) \, dx + \int_{2}^{3} (x-2) \, dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (2-x) \, dx = \left[2x - \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{2} = \left(2(2) - \frac{1}{2}(2)^2\right) - \left(2(1) - \frac{1}{2}(1)^2\right) = (4-2) - \left(2 - \frac{1}{2}\right) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{2}^{3} (x-2) \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{2}^{3} = \left(\frac{1}{2}(3)^2 - 2(3)\right) - \left(\frac{1}{2}(2)^2 - 2(2)\right) = \left(\frac{9}{2} - 6\right) - (2 - 4) = \frac{9}{2} - 6 - (-2) = \frac{9}{2} - 4 = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{1}^{3} |x-2| \, dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

1