与えられた定積分を計算します。具体的には、以下の積分を求めます。 $8\pi b \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。具体的には、以下の積分を求めます。

$8\pi b \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、$x = r\sin\theta$ と変数変換します。このとき、$dx = r\cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき $\theta = 0$、

$x = r$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$

となるので、積分範囲は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ に変わります。

$\sqrt{r^2 - x^2} = \sqrt{r^2 - r^2\sin^2\theta} = \sqrt{r^2(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{r^2\cos^2\theta} = r\cos\theta$

となります。

したがって、積分は

$8\pi b \int_0^{\frac{\pi}{2}} r\cos\theta \cdot r\cos\theta d\theta = 8\pi b r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

となります。

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ なので、積分は

$8\pi b r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = 4\pi b r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta$

$= 4\pi b r^2 \left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$= 4\pi b r^2 \left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right)\right]$

$= 4\pi b r^2 \left(\frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0\right) = 4\pi b r^2 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi^2 b r^2$

3. 最終的な答え

$2\pi^2 b r^2$