与えられた3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-2}^{3} 5 dx$ (2) $\int_{-1}^{2} x^2 dx$ (3) $\int_{-1}^{3} (3x^2 - 4x - 3) dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-2}^{3} 5 dx$

(2) $\int_{-1}^{2} x^2 dx$

(3) $\int_{-1}^{3} (3x^2 - 4x - 3) dx$

2. 解き方の手順

(1) 定数関数の積分

$\int 5 dx = 5x + C$

定積分の計算：

$\int_{-2}^{3} 5 dx = [5x]_{-2}^{3} = 5(3) - 5(-2) = 15 + 10 = 25$

(2) $x^2$ の積分

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C$

定積分の計算：

$\int_{-1}^{2} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{2} = \frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(-1)^3 = \frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

(3) 多項式の積分

$\int (3x^2 - 4x - 3) dx = x^3 - 2x^2 - 3x + C$

定積分の計算：

$\int_{-1}^{3} (3x^2 - 4x - 3) dx = [x^3 - 2x^2 - 3x]_{-1}^{3} = (3^3 - 2(3^2) - 3(3)) - ((-1)^3 - 2(-1)^2 - 3(-1)) = (27 - 18 - 9) - (-1 - 2 + 3) = (0) - (0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) 3

(3) 0