## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. $\int (2x-3)^2 dx$ を計算し、$x^3$、$x^2$、$x$の係数を求めよ。

2. 関数 $f(x) = 4x + 3$ の不定積分のうち、$F(2) = 9$ を満たす $F(x)$ を求め、$x^2$と$x$の係数と定数項を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題1: $\int (2x-3)^2 dx$

1. 展開: $(2x - 3)^2$ を展開します。

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

2. 積分: 展開した式を積分します。

$\int (4x^2 - 12x + 9) dx = 4 \int x^2 dx - 12 \int x dx + 9 \int dx$

$= 4 \cdot \frac{x^3}{3} - 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C$

$= \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C$

したがって、$x^3$の係数は $\frac{4}{3}$、$x^2$の係数は $-6$、$x$の係数は$9$となります。

### 問題2: $f(x) = 4x + 3$ の不定積分 $F(x)$ で $F(2) = 9$ を満たすもの

1. 不定積分: $f(x) = 4x + 3$ の不定積分を求めます。

$F(x) = \int (4x + 3) dx = 4 \int x dx + 3 \int dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^2 + 3x + C$

2. 定数Cの決定: $F(2) = 9$ という条件から定数 $C$ を決定します。

$F(2) = 2(2)^2 + 3(2) + C = 2(4) + 6 + C = 8 + 6 + C = 14 + C = 9$

$C = 9 - 14 = -5$

したがって、$F(x) = 2x^2 + 3x - 5$

$x^2$の係数は $2$、$x$の係数は$3$、定数項は$-5$です。

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3. 最終的な答え

### 問題1

* $x^3$ の係数: $\frac{4}{3}$

* $x^2$ の係数: $-6$

* $x$ の係数: $9$

### 問題2

* $x^2$ の係数: $2$

* $x$ の係数: $3$

* 定数項: $-5$