関数 $f(x) = 4x + 3$ の不定積分のうち、$F(2) = 9$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

解析学不定積分関数積分定数
2025/5/24

1. 問題の内容

関数 f(x)=4x+3f(x) = 4x + 3 の不定積分のうち、F(2)=9F(2) = 9 を満たす関数 F(x)F(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、f(x)=4x+3f(x) = 4x + 3 の不定積分を計算します。
f(x)dx=(4x+3)dx=2x2+3x+C\int f(x) dx = \int (4x + 3) dx = 2x^2 + 3x + C
ここで、CC は積分定数です。
したがって、F(x)=2x2+3x+CF(x) = 2x^2 + 3x + C となります。
次に、F(2)=9F(2) = 9 という条件を使って、CC の値を求めます。
F(2)=2(2)2+3(2)+C=8+6+C=14+C=9F(2) = 2(2)^2 + 3(2) + C = 8 + 6 + C = 14 + C = 9
よって、C=914=5C = 9 - 14 = -5 となります。
したがって、F(x)=2x2+3x5F(x) = 2x^2 + 3x - 5 となります。

3. 最終的な答え

F(x)=2x2+3x5F(x) = 2x^2 + 3x - 5
x^2の係数:2
xの係数:3
定数項:-5

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