曲線 $x = y^2 - y$ と直線 $x = -2y + 2$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $x = y^2 - y$ と直線 $x = -2y + 2$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、曲線と直線の交点の $y$ 座標を求めます。

$y^2 - y = -2y + 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

$(y + 2)(y - 1) = 0$

したがって、$y = -2, 1$ となります。

求める面積は、$y$ についての積分で計算できます。

$S = \int_{-2}^{1} [(-2y + 2) - (y^2 - y)] dy$

$S = \int_{-2}^{1} (-y^2 - y + 2) dy$

$S = \left[ -\frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{2}y^2 + 2y \right]_{-2}^{1}$

$S = \left( -\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 + 2(1) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - \frac{18}{3} \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right)$

$S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6}$

$S = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$