関数 $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6$ について、以下の問題を解く。 (1) グラフを描く。 (2) $x = 3$ における接線の傾きを求める。 (3) $x = 3$ のときの $y$ 座標を求める。 (4) $x = 3$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6$ について、以下の問題を解く。

(1) グラフを描く。

(2) $x = 3$ における接線の傾きを求める。

(3) $x = 3$ のときの $y$ 座標を求める。

(4) $x = 3$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフを描くためには、まず関数の増減を調べる。

導関数 $y'$ を計算する。

$y' = 6x^2 - 6x - 12$

$y' = 6(x^2 - x - 2)$

$y' = 6(x - 2)(x + 1)$

$y' = 0$ となるのは $x = 2$ と $x = -1$ のとき。

増減表を書く。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -1$ のとき $y = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 6 = -2 - 3 + 12 + 6 = 13$

$x = 2$ のとき $y = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 6 = 16 - 12 - 24 + 6 = -14$

よって、極大値は $( -1, 13 )$、極小値は $(2, -14)$。

グラフを描くには、これらの極値と、例えば $x = 0$ のときの $y = 6$ を通ることを利用する。

（グラフは省略）

(2) $x = 3$ における接線の傾きは、$y'$ に $x = 3$ を代入すれば求まる。

$y'(3) = 6(3 - 2)(3 + 1) = 6(1)(4) = 24$

(3) $x = 3$ のときの $y$ 座標は、$y$ に $x = 3$ を代入すれば求まる。

$y(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 6 = 54 - 27 - 36 + 6 = -3$

(4) $x = 3$ における接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

ここで、$x_1 = 3$、$y_1 = -3$、$m = 24$ である。

$y - (-3) = 24(x - 3)$

$y + 3 = 24x - 72$

$y = 24x - 75$

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略

(2) 24

(3) -3

(4) $y = 24x - 75$