与えられた式を簡略化して、$\sin \theta$ になることを示す問題です。与えられた式は、 $\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化して、$\sin \theta$ になることを示す問題です。与えられた式は、

$\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を三角関数の恒等式を用いて変形します。

$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}$ であるので、これを代入します。

$\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}}{1+\frac{\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}}}$

次に、分母と分子に $\cos^2\frac{\theta}{2}$ をかけます。

$= \frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}}$

三角関数の基本的な恒等式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ を用いて、分母を簡略化します。

$= \frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{1}$

$= 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

ここで、2倍角の公式 $2\sin x \cos x = \sin 2x$ を用いると、

$= \sin(2\cdot\frac{\theta}{2})$

$= \sin \theta$

3. 最終的な答え

$\sin \theta$