次の3つの関数のグラフを描く問題です。 (3) $y = x^3 + 2x^2$ (4) $y = x^3 - 3x - 2$ (5) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$

1. 問題の内容

次の3つの関数のグラフを描く問題です。

(3) $y = x^3 + 2x^2$

(4) $y = x^3 - 3x - 2$

(5) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$

2. 解き方の手順

各関数について、グラフを描くために以下の手順で考えます。

(3) $y = x^3 + 2x^2$ の場合

* 共通因数で因数分解します。

$y = x^2(x+2)$

* $y=0$となる$x$の値を求めます（x切片）。

$x^2(x+2) = 0$ より、$x=0$ (重根) と $x=-2$ です。

* 増減表を作成します。まず、$y'$を計算します。

$y' = 3x^2 + 4x = x(3x+4)$

* $y'=0$となる$x$の値を求めます。

$x(3x+4) = 0$ より、$x=0$ と $x = -\frac{4}{3}$ です。

* 増減表を作成し、$x=-\frac{4}{3}$のとき極大値、$x=0$のとき極小値をとることを確認します。

$x = -\frac{4}{3}$のとき、$y = (-\frac{4}{3})^2(-\frac{4}{3}+2) = \frac{16}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{27}$

$x = 0$のとき、$y = 0$

* これらの情報をもとにグラフを描きます。

(4) $y = x^3 - 3x - 2$ の場合

* 因数定理を用いて因数分解します。$x=-1$を代入すると、$y=(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$ なので、$x+1$を因数に持ちます。

$y = (x+1)(x^2-x-2) = (x+1)(x+1)(x-2) = (x+1)^2(x-2)$

* $y=0$となる$x$の値を求めます（x切片）。

$(x+1)^2(x-2) = 0$ より、$x=-1$ (重根) と $x=2$ です。

* 増減表を作成します。まず、$y'$を計算します。

$y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

* $y'=0$となる$x$の値を求めます。

$3(x-1)(x+1) = 0$ より、$x=1$ と $x=-1$ です。

* 増減表を作成し、$x=-1$のとき極値なし、$x=1$のとき極小値をとることを確認します。

$x=-1$のとき、$y = 0$

$x=1$のとき、$y = 1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$

* これらの情報をもとにグラフを描きます。

(5) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$ の場合

* $y' = -3x^2 + 6x - 3 = -3(x^2 - 2x + 1) = -3(x-1)^2$

* $y' = 0$ となる $x$ は $x=1$ のみ。

* $y'' = -6x + 6 = -6(x-1)$

* $x=1$ のとき、$y= -1 + 3 - 3 + 5 = 4$

* $y'$ は常に0以下なので、単調減少のグラフとなります。

* $x=1$ のとき、$y'=0$ なので、変曲点となります。

3. 最終的な答え

問題文にはグラフを描けとありますが、ここではグラフの概形を把握するための情報をまとめました。実際にグラフを描くには、これらの情報を基にして下さい。

(3) $y = x^3 + 2x^2$:

* x切片: $x=-2, 0$ (重根)

* 極大値: $x=-\frac{4}{3}$ のとき $y=\frac{32}{27}$

* 極小値: $x=0$ のとき $y=0$

(4) $y = x^3 - 3x - 2$:

* x切片: $x=-1$ (重根), $2$

* 極小値: $x=1$ のとき $y=-4$

* $x=-1$ で極値を持たない

(5) $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$:

* $y'$ は常に0以下。単調減少

* 変曲点: $x=1$ のとき $y=4$