(6) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3ax - 10$ が極値をもたないような実数 $a$ の範囲を求める。 (7) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ が $x=3$ で極小値1をとるような定数 $a, b$ の値を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(6) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3ax - 10$ が極値をもたないような実数 $a$ の範囲を求める。

(7) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ が $x=3$ で極小値1をとるような定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(6) 関数 $f(x)$ が極値を持たない条件は、$f'(x) = 0$ となる $x$ が存在しないか、または $f'(x) = 0$ となる $x$ が存在してもその前後で $f'(x)$ の符号が変わらないことです。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3a$

$f(x)$ が極値を持たない条件は、$f'(x) = 0$ が実数解を持たないか、または重解を持つことです。これは、$f'(x)$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ となることに対応します。

$D = (2a)^2 - 4(3)(3a) = 4a^2 - 36a = 4a(a-9)$

したがって、$4a(a-9) \le 0$ より、$0 \le a \le 9$ が答えです。

(7) 関数 $f(x)$ が $x=3$ で極小値1をとる条件は、$f(3) = 1$ かつ $f'(3) = 0$ かつ $f''(3) > 0$ であることです。

まず、$f(3) = 1$ より、

$f(3) = 3^3 + a(3^2) + b(3) + 1 = 27 + 9a + 3b + 1 = 28 + 9a + 3b = 1$

$9a + 3b = -27$

$3a + b = -9$ ...(1)

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(3) = 3(3^2) + 2a(3) + b = 27 + 6a + b = 0$

$6a + b = -27$ ...(2)

(2) - (1) より、

$3a = -18$

$a = -6$

(1)に代入して、

$3(-6) + b = -9$

$-18 + b = -9$

$b = 9$

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = 6x + 2a$

$f''(3) = 6(3) + 2a = 18 + 2a = 18 + 2(-6) = 18 - 12 = 6 > 0$

したがって、$a = -6$, $b = 9$ が答えです。

3. 最終的な答え

(6) $0 \le a \le 9$

(7) $a = -6$, $b = 9$