次の関数の増減表を求める問題です。 (1) $y = -x^3 + 3x$ (2) $y = 2x^3 - 3x^2$

1. 問題の内容

次の関数の増減表を求める問題です。

(1) $y = -x^3 + 3x$

(2) $y = 2x^3 - 3x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^3 + 3x$ の場合

まず、導関数を求めます。

$y' = -3x^2 + 3$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

したがって、$x = -1, 1$ で極値を持ちます。

増減表は次のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :- | :--- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 増加 | -2 | 減少 | 2 | 増加 |

(2) $y = 2x^3 - 3x^2$ の場合

まず、導関数を求めます。

$y' = 6x^2 - 6x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 6x = 0$

$6x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

したがって、$x = 0, 1$ で極値を持ちます。

増減表は次のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :- | :--- | :- | :--- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 0 | 減少 | -1 | 増加 |

3. 最終的な答え

(1)

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :- | :--- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 増加 | -2 | 減少 | 2 | 増加 |

(2)

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :- | :--- | :- | :--- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 0 | 減少 | -1 | 増加 |