十の位の数字が $a$, 一の位の数字が $b$ である2桁の自然数を $N$ とし、$N$ の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えてできる自然数を $M$ とする。$N^2 - M^2 = 693$ であるとき、自然数 $N$ を求めよ。

1. 問題の内容

十の位の数字が $a$, 一の位の数字が $b$ である2桁の自然数を $N$ とし、$N$ の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えてできる自然数を $M$ とする。$N^2 - M^2 = 693$ であるとき、自然数 $N$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$N$ と $M$ を $a$ と $b$ で表す。

$N = 10a + b$

$M = 10b + a$

次に、$N^2 - M^2$ を計算する。

$N^2 - M^2 = (10a + b)^2 - (10b + a)^2 = (100a^2 + 20ab + b^2) - (100b^2 + 20ab + a^2) = 99a^2 - 99b^2 = 99(a^2 - b^2) = 99(a + b)(a - b)$

問題文より、$N^2 - M^2 = 693$ なので、

$99(a + b)(a - b) = 693$

$(a + b)(a - b) = \frac{693}{99} = 7$

$a$ と $b$ は整数であり、$a > 0$, $b > 0$ である。また、$a$ と $b$ は一桁の整数であるから、$a, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$。

$a + b$ と $a - b$ は整数であり、 $(a + b)(a - b) = 7$ を満たす必要がある。7 は素数なので、

$a + b = 7$

$a - b = 1$

または

$a + b = -1$

$a - b = -7$

ただし、$a$ と $b$ は自然数なので $a + b > 0$ および $a - b > -10$ を考慮すると、$a+b > a-b$ という条件と合わせると、$a+b = 7, a-b = 1$ の場合のみ考えれば良い。

$a + b = 7$ と $a - b = 1$ を解く。

2つの式を足し合わせると $2a = 8$ となるので、$a = 4$。

$a = 4$ を $a + b = 7$ に代入すると $4 + b = 7$ となるので、$b = 3$。

したがって、$N = 10a + b = 10(4) + 3 = 43$

3. 最終的な答え

43