楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 $P(X, Y)$ からこの楕円に2本の接線を引く。2本の接線が直交するとき、点 $P$ の軌跡を求める。画像には、点Pを通る接線の方程式を立て、それを楕円の方程式に代入して $x$ の2次方程式を得る。この2次方程式が重解を持つ条件から、$m$ の2次方程式を導出し、その判別式を計算するところまでが示されている。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 $P(X, Y)$ からこの楕円に2本の接線を引く。2本の接線が直交するとき、点 $P$ の軌跡を求める。画像には、点Pを通る接線の方程式を立て、それを楕円の方程式に代入して $x$ の2次方程式を得る。この2次方程式が重解を持つ条件から、$m$ の2次方程式を導出し、その判別式を計算するところまでが示されている。

2. 解き方の手順

画像に示された手順を引き継ぎ、最終的な答えを求めます。

(1) 画像に示された $m$ の2次方程式の判別式を計算する。

$m$ の2次方程式は

$(9-X^2) m^2 + 2XY m + (16 - Y^2) = 0$

この判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} = (XY)^2 - (9 - X^2)(16 - Y^2) = 0$ となるはずです。

$\frac{D}{4} = X^2Y^2 - (144 - 9Y^2 - 16X^2 + X^2Y^2) = 0$

$X^2Y^2 - 144 + 9Y^2 + 16X^2 - X^2Y^2 = 0$

$16X^2 + 9Y^2 = 144$

(2) 問題文より、$P$ から引いた2本の接線が直交するので、$m$ についての二次方程式の2つの解 $m_1$, $m_2$ について $m_1 m_2 = -1$ が成り立つ。解と係数の関係より、

$m_1 m_2 = \frac{16 - Y^2}{9 - X^2} = -1$

$16 - Y^2 = -9 + X^2$

$X^2 + Y^2 = 25$

3. 最終的な答え

求める軌跡は $x^2+y^2=25$ である。