楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 P から楕円に 2 本の接線を引きます。その 2 本の直線が直交するような点 P の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 P から楕円に 2 本の接線を引きます。その 2 本の直線が直交するような点 P の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

点 P の座標を $(X, Y)$ とし、接線の傾きを $m$ とおきます。

接線の方程式は $y - Y = m(x - X)$ と表せます。 (1)

これを楕円の方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に代入して、$x$ の 2 次方程式にまとめます。

$(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX - Y)x + 9(mX - Y)^2 - 144 = 0$ (2)

(1) が楕円の接線である条件は、(2) が重解を持つことと同値です。

(2) の判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} = 81m^2(mX - Y)^2 - (9m^2 + 16)\{9(mX - Y)^2 - 144\} = 0$

これを $m$ について整理すると、$m$ の 2 次方程式となります。

$(9 - X^2)m^2 + 2XYm + 16 - Y^2 = 0$ (3)

(3) は楕円に接する直線の傾きを求める 2 次方程式です。点 P から引いた 2 本の接線が直交するので、$m$ の 2 つの解を $m_1, m_2$ とすると、$m_1 m_2 = -1$ が成り立ちます。

解と係数の関係より、$m_1 m_2 = \frac{16 - Y^2}{9 - X^2} = -1$ となります。

したがって、$16 - Y^2 = -9 + X^2$ より、$X^2 + Y^2 = 25$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 25$