与えられたベクトルの組が線形独立であるための実数 $a$, $b$ の条件を求める問題です。 (i) $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 8 \\ a \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} a \\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ b \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が線形独立であるための実数 $a$, $b$ の条件を求める問題です。

(i) $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 8 \\ a \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} a \\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ b \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

2つのベクトル $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ が線形独立であるとは、$c_1 \vec{v_1} + c_2 \vec{v_2} = \vec{0}$ が成り立つとき、$c_1 = c_2 = 0$ であることを言います。

別の言い方をすれば、2つのベクトルが線形独立であるとは、一方が他方の定数倍で表せないことを意味します。すなわち、$\vec{v_1} = k \vec{v_2}$ となる実数 $k$ が存在しないということです。

さらに、2次元ベクトルにおいては、2つのベクトルが線形独立であるとは、それらを並べて作った行列の行列式が0でないことと同値です。

(i) $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 8 \\ a \end{pmatrix}$ が線形独立である条件を考えます。

行列式を計算すると

$3a - 4\times8 \neq 0$

$3a - 32 \neq 0$

$3a \neq 32$

$a \neq \frac{32}{3}$

(ii) $\begin{pmatrix} a \\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ b \end{pmatrix}$ が線形独立である条件を考えます。

行列式を計算すると

$ab - 6\times6 \neq 0$

$ab - 36 \neq 0$

$ab \neq 36$

3. 最終的な答え

(i) $a \neq \frac{32}{3}$

(ii) $ab \neq 36$