与えられた連立方程式から、ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す問題です。連立方程式は次の通りです。 $4\vec{x} - 3\vec{y} = \vec{a}$ $-2\vec{x} + 5\vec{y} = \vec{b}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式から、ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す問題です。連立方程式は次の通りです。

$4\vec{x} - 3\vec{y} = \vec{a}$

$-2\vec{x} + 5\vec{y} = \vec{b}$

2. 解き方の手順

連立方程式を解くために、まず $\vec{x}$ か $\vec{y}$ のどちらかを消去します。

最初の式を2倍すると、$8\vec{x} - 6\vec{y} = 2\vec{a}$ となります。

2番目の式を4倍すると、$-8\vec{x} + 20\vec{y} = 4\vec{b}$ となります。

これらの式を足し合わせることで、$\vec{x}$ を消去できます。

$(8\vec{x} - 6\vec{y}) + (-8\vec{x} + 20\vec{y}) = 2\vec{a} + 4\vec{b}$

これにより、$14\vec{y} = 2\vec{a} + 4\vec{b}$ となります。

したがって、$\vec{y} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$ が得られます。

次に、$\vec{x}$ を求めます。2番目の式 $-2\vec{x} + 5\vec{y} = \vec{b}$ に $\vec{y}$ の値を代入します。

$-2\vec{x} + 5(\frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}) = \vec{b}$

$-2\vec{x} + \frac{5}{7}\vec{a} + \frac{10}{7}\vec{b} = \vec{b}$

$-2\vec{x} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \frac{3}{7}\vec{b}$

$\vec{x} = \frac{5}{14}\vec{a} + \frac{3}{14}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = \frac{5}{14}\vec{a} + \frac{3}{14}\vec{b}$

$\vec{y} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b}$