3次方程式 $x^3 + 2x^2 - x + 1 = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 2x^2 - x + 1 = 0$ の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta + \gamma = -2$$

$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -1$$

$$\alpha\beta\gamma = -1$$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

より、

$$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$$

(2) $\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 + 2x^2 - x + 1 = 0$ の解なので、それぞれ代入して

$$\alpha^3 + 2\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$$

$$\beta^3 + 2\beta^2 - \beta + 1 = 0$$

$$\gamma^3 + 2\gamma^2 - \gamma + 1 = 0$$

これらの式を足し合わせると、

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 + 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - (\alpha + \beta + \gamma) + 3 = 0$$

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + (\alpha + \beta + \gamma) - 3$$

(1)より $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 6$, $\alpha + \beta + \gamma = -2$ なので、

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -2(6) + (-2) - 3 = -12 - 2 - 3 = -17$$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 6$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -17$