（1）$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\sin \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 （2）$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

（1）$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\sin \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

（2）$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\theta$ の動径が第3象限にあるので、$\cos \theta < 0$ かつ $\tan \theta > 0$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

第3象限なので $\cos \theta = -\frac{3}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$

(2) $\theta$ の動径が第4象限にあるので、$\sin \theta < 0$ かつ $\tan \theta < 0$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

第4象限なので $\sin \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$, $\tan \theta = \frac{4}{3}$

(2) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$, $\tan \theta = -\sqrt{15}$