$(x + \frac{2}{x})^8$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。ここでは、問題19.17の(2)を解きます。

1. 問題の内容

$(x + \frac{2}{x})^8$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を求めます。二項定理より、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k a^{n-k} b^k$

です。今回の問題では、$a = x$, $b = \frac{2}{x}$, $n = 8$ なので、

$(x+\frac{2}{x})^8 = \sum_{k=0}^8 {}_8 C_k x^{8-k} (\frac{2}{x})^k = \sum_{k=0}^8 {}_8 C_k x^{8-k} 2^k x^{-k} = \sum_{k=0}^8 {}_8 C_k 2^k x^{8-2k}$

となります。

$x^4$ の項の係数を求めるので、$8-2k = 4$ となる $k$ を求めます。

$8-2k=4$

$2k = 4$

$k = 2$

したがって、$x^4$ の項は、

${}_8 C_2 2^2 x^{8-2(2)} = {}_8 C_2 2^2 x^4$

となります。係数は${}_8 C_2 2^2$ であり、

${}_8 C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

なので、

${}_8 C_2 2^2 = 28 \times 4 = 112$

となります。

3. 最終的な答え

112