与えられた式の展開式における指定された項の係数を求める問題です。具体的には、 (1) $(2x+3)^5$ における $x^3$ の係数 (2) $(x + \frac{2}{x})^8$ における $x^4$ の係数 (3) $(x^2 - \frac{1}{x})^6$ における定数項 (4) $(2x^2 - \frac{1}{x^3})^7$ における $\frac{1}{x}$ の係数 を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式の展開式における指定された項の係数を求める問題です。具体的には、

(1) $(2x+3)^5$ における $x^3$ の係数

(2) $(x + \frac{2}{x})^8$ における $x^4$ の係数

(3) $(x^2 - \frac{1}{x})^6$ における定数項

(4) $(2x^2 - \frac{1}{x^3})^7$ における $\frac{1}{x}$ の係数

を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して各項の係数を計算します。

(1) $(2x+3)^5$ における $x^3$ の係数

二項定理より、$(2x+3)^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} (2x)^k (3)^{5-k}$

$x^3$の項は、$k=3$のときなので、$\binom{5}{3} (2x)^3 (3)^{5-3} = \binom{5}{3} (2x)^3 (3)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 9 = 720x^3$

よって、$x^3$の係数は720です。

(2) $(x + \frac{2}{x})^8$ における $x^4$ の係数

二項定理より、$(x + \frac{2}{x})^8 = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} (x)^k (\frac{2}{x})^{8-k} = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} x^k 2^{8-k} x^{k-8} = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} 2^{8-k} x^{2k-8}$

$x^4$の項は、$2k-8=4$なので、$2k=12$, $k=6$

よって、$\binom{8}{6} 2^{8-6} x^{2\cdot6-8} = \binom{8}{6} 2^2 x^4 = 28 \cdot 4 x^4 = 112x^4$

$x^4$の係数は112です。

(3) $(x^2 - \frac{1}{x})^6$ における定数項

二項定理より、$(x^2 - \frac{1}{x})^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (x^2)^k (-\frac{1}{x})^{6-k} = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} x^{2k} (-1)^{6-k} x^{k-6} = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-1)^{6-k} x^{3k-6}$

定数項は、$3k-6=0$なので、$3k=6$, $k=2$

$\binom{6}{2} (-1)^{6-2} x^{3\cdot2-6} = \binom{6}{2} (-1)^4 x^0 = 15 \cdot 1 = 15$

定数項は15です。

(4) $(2x^2 - \frac{1}{x^3})^7$ における $\frac{1}{x}$ の係数

二項定理より、$(2x^2 - \frac{1}{x^3})^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} (2x^2)^k (-\frac{1}{x^3})^{7-k} = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^k x^{2k} (-1)^{7-k} x^{3k-21} = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^k (-1)^{7-k} x^{5k-21}$

$\frac{1}{x} = x^{-1}$の項は、$5k-21=-1$なので、$5k=20$, $k=4$

$\binom{7}{4} 2^4 (-1)^{7-4} x^{5\cdot4-21} = \binom{7}{4} 16 (-1)^3 x^{-1} = 35 \cdot 16 \cdot (-1) x^{-1} = -560 x^{-1}$

$\frac{1}{x}$の係数は-560です。

3. 最終的な答え

(1) 720

(2) 112

(3) 15

(4) -560