問題(4)は、$|\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}| = ad - bc$ という定義のもとで、$|\begin{smallmatrix} x & 1 \\ 4 & 3 \end{smallmatrix}| = |\begin{smallmatrix} 7 & 4 \\ x+1 & 1 \end{smallmatrix}|$ を満たす $x$ の値を求める問題です。 問題(5)は、自然数 $A$ を 4 で割ると商が $m$ で余りが 3、自然数 $B$ を 8 で割ると商が $n$ で余りが 7 となる時、$A+B$ を 4 で割った時の商と余りを求める問題です。ただし商は $m$, $n$ を使ったもっとも簡単な式で表し、余りは自然数で答えます。

1. 問題の内容

問題(4)は、$|\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}| = ad - bc$ という定義のもとで、$|\begin{smallmatrix} x & 1 \\ 4 & 3 \end{smallmatrix}| = |\begin{smallmatrix} 7 & 4 \\ x+1 & 1 \end{smallmatrix}|$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

問題(5)は、自然数 $A$ を 4 で割ると商が $m$ で余りが 3、自然数 $B$ を 8 で割ると商が $n$ で余りが 7 となる時、$A+B$ を 4 で割った時の商と余りを求める問題です。ただし商は $m$, $n$ を使ったもっとも簡単な式で表し、余りは自然数で答えます。

2. 解き方の手順

問題(4)

まず、左辺と右辺の行列式を計算します。

左辺： $|\begin{smallmatrix} x & 1 \\ 4 & 3 \end{smallmatrix}| = 3x - 4$

右辺： $|\begin{smallmatrix} 7 & 4 \\ x+1 & 1 \end{smallmatrix}| = 7 - 4(x+1) = 7 - 4x - 4 = 3 - 4x$

これらを等式で結びます。

$3x - 4 = 3 - 4x$

$7x = 7$

$x = 1$

問題(5)

$A$ と $B$ を $m$ と $n$ で表します。

$A = 4m + 3$

$B = 8n + 7$

$A+B$ を計算します。

$A+B = (4m + 3) + (8n + 7) = 4m + 8n + 10$

$A+B$ を 4 で割ることを考えます。

$A+B = 4m + 8n + 10 = 4m + 8n + 8 + 2 = 4(m + 2n + 2) + 2$

したがって、$A+B$ を 4 で割った時の商は $m + 2n + 2$ で、余りは 2 です。

3. 最終的な答え

問題(4)の答え： $x = 1$

問題(5)の答え： 商: $m + 2n + 2$, 余り: $2$