ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、$\vec{a}+2\vec{b} = (-2, -4)$ および $2\vec{a}+\vec{b} = (5, -2)$ が与えられている。このとき、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を求め、さらに $3\vec{a}+2\vec{b}$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、$\vec{a}+2\vec{b} = (-2, -4)$ および $2\vec{a}+\vec{b} = (5, -2)$ が与えられている。このとき、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を求め、さらに $3\vec{a}+2\vec{b}$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの式を連立方程式として解き、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を求める。

$\vec{a}+2\vec{b} = (-2, -4)$ (1)

$2\vec{a}+\vec{b} = (5, -2)$ (2)

(2)式を2倍すると、

$4\vec{a}+2\vec{b} = (10, -4)$ (3)

(3)式から(1)式を引くと、

$4\vec{a}+2\vec{b} - (\vec{a}+2\vec{b}) = (10, -4) - (-2, -4)$

$3\vec{a} = (12, 0)$

$\vec{a} = (4, 0)$

$\vec{a} = (4, 0)$ を(1)式に代入すると、

$(4, 0) + 2\vec{b} = (-2, -4)$

$2\vec{b} = (-2, -4) - (4, 0)$

$2\vec{b} = (-6, -4)$

$\vec{b} = (-3, -2)$

よって、$\vec{a} = (4, 0)$、$\vec{b} = (-3, -2)$。

次に、$3\vec{a}+2\vec{b}$ を計算する。

$3\vec{a}+2\vec{b} = 3(4, 0) + 2(-3, -2)$

$3\vec{a}+2\vec{b} = (12, 0) + (-6, -4)$

$3\vec{a}+2\vec{b} = (6, -4)$

最後に、$3\vec{a}+2\vec{b}$ の大きさを求める。

$|3\vec{a}+2\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} = (4, 0)$

$\vec{b} = (-3, -2)$

$|3\vec{a}+2\vec{b}| = 2\sqrt{13}$