大小中3個のさいころを投げるとき、以下の事象が起こる場合の数を求めます。 (1) 目がすべて異なる。 (2) 少なくとも2個が同じ目。 (3) 目の積が3の倍数。 (4) 目の和が奇数。

1. 問題の内容

大小中3個のさいころを投げるとき、以下の事象が起こる場合の数を求めます。

(1) 目がすべて異なる。

(2) 少なくとも2個が同じ目。

(3) 目の積が3の倍数。

(4) 目の和が奇数。

2. 解き方の手順

(1) 目がすべて異なる場合

1つ目のサイコロの目は6通り。2つ目のサイコロの目は1つ目の出た目以外なので5通り。3つ目のサイコロの目は1つ目と2つ目の出た目以外なので4通り。したがって、

$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り

(2) 少なくとも2個が同じ目

すべての目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通り。

少なくとも2個が同じ目である場合の数は、すべての出方からすべて異なる場合を除いた数なので、

$216 - 120 = 96$ 通り

(3) 目の積が3の倍数

3つのサイコロの目の積が3の倍数でないのは、どのサイコロの目も3の倍数でない場合である。

3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4通り。

3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合の数は $4 \times 4 \times 4 = 64$ 通り。

したがって、目の積が3の倍数である場合の数は、すべての出方からすべて3の倍数でない場合を除いた数なので、

$216 - 64 = 152$ 通り

(4) 目の和が奇数

3つのサイコロの目の和が奇数になるのは、

(i) 3つとも奇数の場合

(ii) 奇数1つ、偶数2つの場合

の2通り。

(i) 3つとも奇数の場合

奇数の目は1, 3, 5の3通りなので、 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り。

(ii) 奇数1つ、偶数2つの場合

奇数の目の選び方が3通り、偶数の目の選び方が3通り。どのサイコロが奇数であるかの選び方が3通り。

したがって、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り。この奇数がどのサイコロになるか選ぶので、3通り。なので $27\times 3 = 81$通り。

合計すると、$27 + 81 = 108$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り