母音a, i, u, e, oと子音k, s, tの合計8個の文字を1列に並べる。 (1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。 (2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

母音a, i, u, e, oと子音k, s, tの合計8個の文字を1列に並べる。

(1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。

(2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音である場合

まず、両端に母音を配置する方法を考えます。母音はa, i, u, e, oの5種類あるので、最初の文字は5通り、最後の文字は残りの4通りとなります。

したがって、両端の母音の配置は $5 \times 4 = 20$ 通りです。

次に、残りの6文字（3つの子音と3つの母音）を並べる方法を考えます。これは6個の異なるものを並べる順列なので、$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

したがって、両端が母音である並べ方の総数は $20 \times 720 = 14400$ 通りです。

(2) 母音5個が続いて並ぶ場合

まず、5個の母音を1つのグループとして考えます。この5個の母音のグループと3個の子音の合計4つのものを並べることになります。

これら4つのものの並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、5個の母音のグループの中で、母音を並べ替える方法を考えます。これは5個の異なるものを並べる順列なので、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

したがって、母音5個が続いて並ぶ並べ方の総数は $24 \times 120 = 2880$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 14400通り

(2) 2880通り