表が出る確率が $a$ $(0 < a < \frac{1}{2})$、裏が出る確率が $1-a$ のコインを $n$ 回投げる試行を考えます。ただし、$n \ge 2$ とします。 $A_n$ を、$n$ 回の試行の結果、表が 2 回以上出る事象とします。 $B_n$ を、1 回目から $n$ 回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象とします。 (1) 確率 $P(A_n)$, $P(B_n)$ を求めます。 (2) 確率 $P(A_n \cap B_n)$ を求めます。 (3) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)}$ を求めます。ただし、$0 < r < 1$ を満たす $r$ に対して、$\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$ であることを証明なしに用いてよいです。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

表が出る確率が $a$ $(0 < a < \frac{1}{2})$、裏が出る確率が $1-a$ のコインを $n$ 回投げる試行を考えます。ただし、$n \ge 2$ とします。

$A_n$ を、$n$ 回の試行の結果、表が 2 回以上出る事象とします。

$B_n$ を、1 回目から $n$ 回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象とします。

(1) 確率 $P(A_n)$, $P(B_n)$ を求めます。

(2) 確率 $P(A_n \cap B_n)$ を求めます。

(3) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)}$ を求めます。ただし、$0 < r < 1$ を満たす $r$ に対して、$\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$ であることを証明なしに用いてよいです。

2. 解き方の手順

(1) $P(A_n)$ を求める:

$A_n$ は「表が2回以上出る」事象なので、$A_n$ の余事象は「表が0回または1回出る」事象です。

$P(A_n) = 1 - P(\text{表が0回}) - P(\text{表が1回})$

$P(\text{表が0回}) = (1-a)^n$

$P(\text{表が1回}) = {}_nC_1 a (1-a)^{n-1} = n a (1-a)^{n-1}$

したがって、

$P(A_n) = 1 - (1-a)^n - n a (1-a)^{n-1}$

$P(B_n)$ を求める:

$B_n$ は「裏→表」の順で出ない事象です。$B_n^c$を「裏→表」が少なくとも一度出る事象とすると、$P(B_n) = 1 - P(B_n^c)$です。

ここでは直接、$P(B_n)$ を計算します。

$P(B_n)$を計算する別の方法として、漸化式を利用する方法があります。

$n$回目に「裏→表」の順で出ない確率を$P(B_n)$とする。

$n$回目に表が出た場合、$n-1$回目までの試行で「裏→表」が出なければよいので、確率は$aP(B_{n-1})$

$n$回目に裏が出た場合、 $n-1$回目までの試行で「裏→表」が出なくても良いし、$n-1$回目に表が出ていれば良いので、確率は$(1-a)P(B_{n-1})+(1-a)a^{n-1}$

したがって、$P(B_n) = P(B_{n-1}) + (1-a)a^{n-1}$ となる。

$P(B_1) = 1$

$P(B_2) = 1 - (1-a)a$

これを解くと、$P(B_n) = 1 - (n-1)(1-a)a$となります。

(2) $P(A_n \cap B_n)$ を求める:

$P(A_n \cap B_n) = P(A_n | B_n)P(B_n)$ または $P(B_n | A_n)P(A_n)$ を使って計算します。

$A_n \cap B_n$ は「表が2回以上出て、かつ「裏→表」の順で出ない」事象です。

これは、$A_n$から「表が2回以上出て、かつ「裏→表」の順で出る」事象を除いたものと考えられます。

しかし、直接計算する方が簡単です。$A_n$は「表が2回以上出る」事象なので、$A_n \cap B_n$の余事象は「表が0回または1回出る、または「裏→表」が出る」事象です。

$P(A_n \cap B_n) = 1 - P(\text{表が0回}) - P(\text{表が1回}) - P(\text{裏→表が少なくとも1回}) + P(\text{表が0回かつ「裏→表」が少なくとも1回}) + P(\text{表が1回かつ「裏→表」が少なくとも1回})$

$P(A_n \cap B_n) = P(A_n) - P(A_n \cap B_n^c)$

$P(A_n \cap B_n) = 1 - (1-a)^n - n a (1-a)^{n-1} - (n-1)(1-a)a$

(3) 極限を求める:

$\lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(1 - (1-a)^n - n a (1-a)^{n-1}) (1 - (n-1)(1-a)a)}{(1 - (1-a)^n - n a (1-a)^{n-1} - (n-1)(1-a)a)}$

$0 < 1-a < 1$ なので、 $\lim_{n \to \infty} (1-a)^n = 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} n (1-a)^{n-1} = 0$ です。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} P(A_n) = 1$

$\lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-(n-1)(1-a)a}{1-(n-1)(1-a)a} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $P(A_n) = 1 - (1-a)^n - n a (1-a)^{n-1}$

$P(B_n) = 1 - (n-1)a(1-a)$

(2) $P(A_n \cap B_n) = 1 - (1-a)^n - n a (1-a)^{n-1} - (n-1)(1-a)a$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{P(A_n)P(B_n)}{P(A_n \cap B_n)} = 1$