10人の男子学生の身長と体重のデータが与えられており、以下の設問に答える問題です。 (1) 散布図を描く。 (2) 身長の標本平均と標本分散を求める。 (3) 体重の標本平均と標本分散を求める。 (4) 身長と体重の共分散を求める。 (5) 身長と体重の相関係数を求める。

1. 問題の内容

10人の男子学生の身長と体重のデータが与えられており、以下の設問に答える問題です。

(1) 散布図を描く。

(2) 身長の標本平均と標本分散を求める。

(3) 体重の標本平均と標本分散を求める。

(4) 身長と体重の共分散を求める。

(5) 身長と体重の相関係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 散布図を描く。

与えられたデータに基づいて、身長を横軸、体重を縦軸とする散布図を描きます。画像から、x軸は160と180の中間が170, y軸は50と80の中間が65となるようにスケールが設定されていることがわかります。それぞれの座標に点を打ちます。

(2) 身長の標本平均と標本分散を求める。

問題文にすでに答えが書かれてあります。標本平均は173.0、標本分散は67.4です。

(3) 体重の標本平均と標本分散を求める。

問題文にすでに答えが書かれてあります。標本平均は61.0、標本分散は85.0です。

(4) 身長と体重の共分散を求める。

与えられたデータから共分散を計算します。

共分散 $Cov(X,Y)$ は以下の式で求められます。

$Cov(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

ここで、$x_i$ は身長のデータ、$y_i$ は体重のデータ、$\bar{x}$ は身長の標本平均、$\bar{y}$ は体重の標本平均、$n$ はデータ数です。

画像からデータを取り出すと以下のようになります。

身長: 171, 154, 167, 160, 163, 153, 158, 178, 181, 171

体重: 67, 51, 53, 74, 50, 69, 68, 73, 62, 52

身長の平均 $\bar{x}$ = 173.0

体重の平均 $\bar{y}$ = 61.0

それぞれの $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ を計算します。

(171-167)(67-61) = 4*6 = 24

(154-167)(51-61) = -13*-10 = 130

(167-167)(53-61) = 0*-8 = 0

(160-167)(74-61) = -7*13 = -91

(163-167)(50-61) = -4*-11 = 44

(153-167)(69-61) = -14*8 = -112

(158-167)(68-61) = -9*7 = -63

(178-167)(73-61) = 11*12 = 132

(181-167)(62-61) = 14*1 = 14

(171-167)(52-61) = 4*-9 = -36

これらの合計は24 + 130 + 0 - 91 + 44 - 112 - 63 + 132 + 14 - 36 = 32

共分散 $Cov(X, Y) = \frac{32}{10-1} = \frac{32}{9} \approx 3.6$

(5) 身長と体重の相関係数を求める。

相関係数 $r$ は以下の式で求められます。

$r = \frac{Cov(X, Y)}{S_x S_y}$

ここで、$Cov(X, Y)$ は共分散、$S_x$ は身長の標準偏差、$S_y$ は体重の標準偏差です。

身長の標準偏差 $S_x = \sqrt{67.4} \approx 8.2$

体重の標準偏差 $S_y = \sqrt{85.0} \approx 9.2$

相関係数 $r = \frac{3.6}{8.2 * 9.2} \approx \frac{3.6}{75.44} \approx 0.05$

3. 最終的な答え

(1) 散布図：省略

(2) 身長の標本平均：173.0

身長の標本分散：67.4

(3) 体重の標本平均：61.0

体重の標本分散：85.0

(4) 身長と体重の共分散：3.6

(5) 身長と体重の相関係数：0.0