10人の男子学生の身長(cm)と体重(kg)のデータが与えられています。 (1) 散布図を描きます。 (2) 身長(x)の標本平均と標本分散を小数第1位まで求めます。 (3) 体重(y)の標本平均と標本分散を小数第1位まで求めます。 (4) 身長(x)と体重(y)の共分散を小数第1位まで求めます。

1. 問題の内容

10人の男子学生の身長(cm)と体重(kg)のデータが与えられています。

(1) 散布図を描きます。

(2) 身長(x)の標本平均と標本分散を小数第1位まで求めます。

(3) 体重(y)の標本平均と標本分散を小数第1位まで求めます。

(4) 身長(x)と体重(y)の共分散を小数第1位まで求めます。

2. 解き方の手順

(2) 身長(x)の標本平均と標本分散を計算します。

身長のデータは、176, 184, 167, 160, 164, 183, 185, 178, 163, 170 です。

標本平均 $\bar{x}$ は、データの総和をデータ数で割ったものです。

$\bar{x} = \frac{176 + 184 + 167 + 160 + 164 + 183 + 185 + 178 + 163 + 170}{10} = \frac{1730}{10} = 173.0$

標本分散 $s_x^2$ は、各データと標本平均の差の二乗の総和をデータ数-1で割ったものです。

$s_x^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2}{10-1}$

各データと標本平均の差の二乗は以下の通りです。

$(176-173)^2 = 9$

$(184-173)^2 = 121$

$(167-173)^2 = 36$

$(160-173)^2 = 169$

$(164-173)^2 = 81$

$(183-173)^2 = 100$

$(185-173)^2 = 144$

$(178-173)^2 = 25$

$(163-173)^2 = 100$

$(170-173)^2 = 9$

これらの総和は $9 + 121 + 36 + 169 + 81 + 100 + 144 + 25 + 100 + 9 = 794$

よって、標本分散は $s_x^2 = \frac{794}{9} \approx 88.2$

(3) 体重(y)の標本平均と標本分散を計算します。

体重のデータは、71, 83, 50, 59, 68, 88, 72, 61, 52, 70 です。

標本平均 $\bar{y}$ は、データの総和をデータ数で割ったものです。

$\bar{y} = \frac{71 + 83 + 50 + 59 + 68 + 88 + 72 + 61 + 52 + 70}{10} = \frac{674}{10} = 67.4$

標本分散 $s_y^2$ は、各データと標本平均の差の二乗の総和をデータ数-1で割ったものです。

$s_y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2}{10-1}$

各データと標本平均の差の二乗は以下の通りです。

$(71-67.4)^2 = 12.96$

$(83-67.4)^2 = 243.36$

$(50-67.4)^2 = 302.76$

$(59-67.4)^2 = 70.56$

$(68-67.4)^2 = 0.36$

$(88-67.4)^2 = 424.36$

$(72-67.4)^2 = 21.16$

$(61-67.4)^2 = 40.96$

$(52-67.4)^2 = 237.16$

$(70-67.4)^2 = 6.76$

これらの総和は $12.96 + 243.36 + 302.76 + 70.56 + 0.36 + 424.36 + 21.16 + 40.96 + 237.16 + 6.76 = 1359.4$

よって、標本分散は $s_y^2 = \frac{1359.4}{9} \approx 151.0$

(4) 身長(x)と体重(y)の共分散を計算します。

共分散 $s_{xy}$ は、各データのxとyの偏差の積の総和をデータ数-1で割ったものです。

$s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{10-1}$

各データのxとyの偏差の積は以下の通りです。

$(176-173)(71-67.4) = 3 \times 3.6 = 10.8$

$(184-173)(83-67.4) = 11 \times 15.6 = 171.6$

$(167-173)(50-67.4) = -6 \times -17.4 = 104.4$

$(160-173)(59-67.4) = -13 \times -8.4 = 109.2$

$(164-173)(68-67.4) = -9 \times 0.6 = -5.4$

$(183-173)(88-67.4) = 10 \times 20.6 = 206.0$

$(185-173)(72-67.4) = 12 \times 4.6 = 55.2$

$(178-173)(61-67.4) = 5 \times -6.4 = -32.0$

$(163-173)(52-67.4) = -10 \times -15.4 = 154.0$

$(170-173)(70-67.4) = -3 \times 2.6 = -7.8$

これらの総和は $10.8 + 171.6 + 104.4 + 109.2 - 5.4 + 206.0 + 55.2 - 32.0 + 154.0 - 7.8 = 765$

よって、共分散は $s_{xy} = \frac{765}{9} \approx 85.0$

3. 最終的な答え

(2) 身長の標本平均: 173.0, 標本分散: 88.2

(3) 体重の標本平均: 67.4, 標本分散: 151.0

(4) 身長と体重の共分散: 85.0