問題文は以下の通りです。 1. 白球4個と赤球1個が入った袋から球を1個取り出し、色を確認後袋に戻す。これを3回繰り返すときの以下の確率を求める。 (1) 3回とも白球が出る確率 (2) 白、赤、白の順に出る確率 (3) 3回のうち2回だけ白球が出る確率 2. 8枚の硬貨を同時に投げるとき、以下の確率を求める。 (4) 表と裏が同数出る確率 (5) 表の出る枚数が2枚以上である確率 3. AとBがゲームを繰り返し、先に3勝した方を優勝とする。AとBが1回のゲームで勝つ確率はそれぞれ$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{3}$であるとき、以下の確率を求める。 (6) Aが3勝1敗で優勝する確率 (7) Aが3勝2敗で優勝する確率 (8) Aが優勝する確率 4. 数直線上の原点に点Pがある。サイコロを投げ、4以下が出ればPを1左に、5以上が出ればPを1右に移動させる。6回サイコロを投げたとき、以下の確率を求める。 (9) 点Pが原点にある確率 (10) 点Pが原点から2だけ右の位置にある確率

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

1. 白球4個と赤球1個が入った袋から球を1個取り出し、色を確認後袋に戻す。これを3回繰り返すときの以下の確率を求める。

(1) 3回とも白球が出る確率

(2) 白、赤、白の順に出る確率

(3) 3回のうち2回だけ白球が出る確率

2. 8枚の硬貨を同時に投げるとき、以下の確率を求める。

(4) 表と裏が同数出る確率

(5) 表の出る枚数が2枚以上である確率

3. AとBがゲームを繰り返し、先に3勝した方を優勝とする。AとBが1回のゲームで勝つ確率はそれぞれ$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{3}$であるとき、以下の確率を求める。

(6) Aが3勝1敗で優勝する確率

(7) Aが3勝2敗で優勝する確率

(8) Aが優勝する確率

4. 数直線上の原点に点Pがある。サイコロを投げ、4以下が出ればPを1左に、5以上が出ればPを1右に移動させる。6回サイコロを投げたとき、以下の確率を求める。

(9) 点Pが原点にある確率

(10) 点Pが原点から2だけ右の位置にある確率

2. 解き方の手順

(1) 3回とも白球が出る確率

1回の試行で白球が出る確率は $\frac{4}{5}$ である。3回とも白球が出る確率は

$$(\frac{4}{5})^3 = \frac{64}{125}$$

(2) 白、赤、白の順に出る確率

白、赤、白の順に出る確率は、

$$\frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{125}$$

(3) 3回のうち2回だけ白球が出る確率

3回のうち2回白球が出るパターンは、白白赤、白赤白、赤白白の3通りある。それぞれの確率は $\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{16}{125}$ なので、

$$3 \times \frac{16}{125} = \frac{48}{125}$$

(4) 表と裏が同数出る確率

8枚の硬貨を投げるとき、表と裏が同数になるのは表が4枚、裏が4枚の場合である。確率は、

$$\frac{{}_8C_4}{2^8} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}$$

(5) 表の出る枚数が2枚以上である確率

表の枚数が0枚または1枚の場合の確率を全体から引けばよい。

表が0枚の確率は $\frac{1}{256}$

表が1枚の確率は $\frac{8}{256}$

よって求める確率は

$$1 - \frac{1}{256} - \frac{8}{256} = 1 - \frac{9}{256} = \frac{247}{256}$$

(6) Aが3勝1敗で優勝する確率

Aが3勝1敗で優勝するためには、最後の試合でAが勝ち、それまでの3試合でAが2勝1敗である必要がある。

確率は、

${}_3C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 \times \frac{2}{3} = 3 \times \frac{4}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

(7) Aが3勝2敗で優勝する確率

Aが3勝2敗で優勝するためには、最後の試合でAが勝ち、それまでの4試合でAが2勝2敗である必要がある。

確率は、

${}_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = 6 \times \frac{4}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{48}{243} = \frac{16}{81}$

(8) Aが優勝する確率

Aが3勝0敗、3勝1敗、3勝2敗で優勝する場合を考える。

3勝0敗の確率は $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

3勝1敗の確率は $\frac{8}{27}$ (上記(6)より)

3勝2敗の確率は $\frac{16}{81}$ (上記(7)より)

合計すると、

$$\frac{8}{27} + \frac{8}{27} + \frac{16}{81} = \frac{24+24+16}{81} = \frac{64}{81}$$

(9) 点Pが原点にある確率

6回の試行で、左に移動する回数と右に移動する回数が同じであれば良い。つまり、左に3回、右に3回移動すれば良い。

サイコロで4以下が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。5以上が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

よって、確率は

${}_6C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3 = 20 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{27} = \frac{160}{729}$

(10) 点Pが原点から2だけ右の位置にある確率

6回の試行で、右に移動する回数が左に移動する回数より2回多ければ良い。つまり、右に4回、左に2回移動すれば良い。

よって、確率は

${}_6C_4 (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{64}{125}$

(2) $\frac{16}{125}$

(3) $\frac{48}{125}$

(4) $\frac{35}{128}$

(5) $\frac{247}{256}$

(6) $\frac{8}{27}$

(7) $\frac{16}{81}$

(8) $\frac{64}{81}$

(9) $\frac{160}{729}$

(10) $\frac{80}{243}$