袋の中に白球が20個、赤球が30個入っている。袋から球を1つ取り出し、色を確認して袋に戻す操作を40回繰り返す。白球が$n$回取り出される確率を$p_n$とする。 (1) $0 \le n \le 39$ のとき、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$を$n$の式で表す。 (2) 白球が取り出される確率が最大になるのは、白球が何回取り出されるときか求める。

1. 問題の内容

袋の中に白球が20個、赤球が30個入っている。袋から球を1つ取り出し、色を確認して袋に戻す操作を40回繰り返す。白球が$n$回取り出される確率を$p_n$とする。

(1) $0 \le n \le 39$ のとき、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$を$n$の式で表す。

(2) 白球が取り出される確率が最大になるのは、白球が何回取り出されるときか求める。

2. 解き方の手順

(1) $p_n$は、40回の試行で白球がちょうど$n$回出る確率なので、二項分布に従う。

したがって、

$$p_n = \binom{40}{n} \left(\frac{20}{50}\right)^n \left(\frac{30}{50}\right)^{40-n} = \binom{40}{n} \left(\frac{2}{5}\right)^n \left(\frac{3}{5}\right)^{40-n}$$

$$p_{n+1} = \binom{40}{n+1} \left(\frac{2}{5}\right)^{n+1} \left(\frac{3}{5}\right)^{40-(n+1)} = \binom{40}{n+1} \left(\frac{2}{5}\right)^{n+1} \left(\frac{3}{5}\right)^{39-n}$$

$$\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{\binom{40}{n+1} \left(\frac{2}{5}\right)^{n+1} \left(\frac{3}{5}\right)^{39-n}}{\binom{40}{n} \left(\frac{2}{5}\right)^n \left(\frac{3}{5}\right)^{40-n}}$$

$$= \frac{\frac{40!}{(n+1)!(40-n-1)!}}{\frac{40!}{n!(40-n)!}} \cdot \frac{\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{\left(\frac{2}{5}\right)^n} \cdot \frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{39-n}}{\left(\frac{3}{5}\right)^{40-n}}$$

$$= \frac{n!(40-n)!}{(n+1)!(39-n)!} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{n!(40-n)(39-n)!}{(n+1)n!(39-n)!} \cdot \frac{2}{3}$$

$$= \frac{40-n}{n+1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{80-2n}{3n+3}$$

(2) $p_n$が最大となる$n$を求める。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} \ge 1$のとき、$p_{n+1} \ge p_n$であり、$\frac{p_{n+1}}{p_n} < 1$のとき、$p_{n+1} < p_n$である。

$\frac{p_{n+1}}{p_n} \ge 1$となる$n$を求める。

$$\frac{80-2n}{3n+3} \ge 1$$

$$80-2n \ge 3n+3$$

$$77 \ge 5n$$

$$n \le \frac{77}{5} = 15.4$$

よって、$n \le 15$のとき、$p_{n+1} \ge p_n$

$n \ge 16$のとき、$p_{n+1} < p_n$

したがって、$p_{16}$が最大となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{80-2n}{3n+3}$

(2) 16回